\begin{definition}
  \textit{Коммутативной диаграммой}\index{Коммутативная диаграмма}
  \footnote{Неформально говоря, под коммутативной диаграммой подразумевается
            картинка, в которой любой путь из одной вершины в другую даёт
            одинаковый морфизм --- прим. наборщика.}
  категории $\CC$ будем называть такое множество морфизмов из $\CC$, что
  в нём любые два морфизма, образованные операцией композиции, равны,
  если их концы совпадают. Например, если говорят, что следующие диаграммы
  коммутативны:
  
   {\begin{tikzcd}
      A \arrow{r}{\alpha} \arrow{d}{\beta} & B \arrow{d}{\gamma} \\
      C \arrow{r}{\delta} & D
    \end{tikzcd}}
   {\begin{tikzcd}
      & B_1 \arrow{r}{\alpha_2} & C_1 \arrow{rd}{\alpha_3} \\
      A \arrow{ru}{\alpha_1} \arrow{rru}[swap]{\gamma}
        \arrow{rd}[swap]{\beta_1} & & & D \\
      & B_2 \arrow{r}[swap]{\beta_2} & C_2 \arrow{ru}[swap]{\beta_3}
    \end{tikzcd}}

  то это следует понимать так, что выполнены равенства

    $\alpha\circ\gamma=\beta\circ\delta\quad$
    $\left\{
        \begin{aligned}
          &\alpha_1\circ\alpha_2=\gamma\\
          &\alpha_1\circ\alpha_2\circ\alpha_3=\beta_1\circ\beta_2\circ\beta_3\\
        \end{aligned}
      \right.
    $
   
  В определении морфизмов категории конусов записаны условия
  коммутативности диаграммы.
\end{definition}

\begin{lemma}\label{prodbiect}
  Пусть $(A\times B, p_A, p_B)$ --- произведение в $\CC$.
  Тогда существует биекция
  $\HOMCC(X,A) \times \HOMCC(X,B) \mapsto \HOMCC(X,A\times B)$
\end{lemma}

\begin{proof}
  Пусть $f\in\HOMCC(X,A)$ и $g\in\HOMCC(X,B)$.
  Тогда \\
  $(X,f,g)\in \ConCC(A,B)$, а т.к. в категории конусов
  $(A\times B, p_A, p_B)$ --- финальный объект, существует и единственна
  стрелка $X\xrightarrow{\gamma}A\times B$, при которой коммутативна
  диаграмма

   {\begin{tikzcd}
      & X \arrow{ld}[swap]{g}
          \arrow[dashed]{d}[description]{\exists!\gamma}
          \arrow{rd}{f} \\
      B & A\times B \arrow{l}{p_B} \arrow{r}[swap]{p_A} & A
    \end{tikzcd}}

  Сопоставим паре $(f,g)$ стрелку $\gamma$.

  В обратную сторону: пусть задана какая-то стрелка
   $X\xrightarrow{\gamma}A\times B$.
  Тогда
    $$\gamma\in \HOMCC(X,A\times B)$$
    $$\gamma\circ p_B\in \HOMCC(X,B),\quad \gamma\circ p_A\in \HOMCC(X,A)$$

  Введём обозначения: $f=\gamma\circ p_A$, $g=\gamma\circ p_B$ и сопоставим
  стрелке $\gamma$ пару $(f,g)$. По уже доказанному полученное отображение
  действительно будет биекцией, т.к. $\gamma$ для заданных $(f,g)$ единственно. 
\end{proof}

Введём обозначение для этой биекции:
$\langle f,g\rangle\leftrightharpoons \gamma$.

\begin{note}
  Обозначение $\langle f,g\rangle$ неоднозначно в том смысле,
  что произведение не обязано
  быть единственным, а для разных объектов вида $A\times B$ будут получатся
  разные значения $\langle f,g\rangle$. Эта неоднозначность в обозначениях
  в дальнейшем
  не должна привести к неоднозначности в рассуждениях.
\end{note}

\begin{lemma}\label{prodiso}
   $h$ --- изострелка в $\ConCC(A,B)\quad\Leftrightarrow\quad h$
   --- стрелка в $\ConCC(A,B)$ и изострелка в $\CC$. 
\end{lemma}

\begin{proof}
  По определению стрелки в $\ConCC(A,B)$, следующая диаграмма коммутативна:

    {\begin{tikzcd}
      & X \arrow{ldd}[swap]{f}
          \arrow{d}[description]{h}
          \arrow{rdd}{g} \\
      & X' \arrow{ld}[description]{f'}
           \arrow{rd}[description]{g'} \\
      A && B
    \end{tikzcd}}

  ($\Rightarrow$) Т.к. $h$ --- изострелка в $\ConCC(A,B)$,
  должна существовать такая стрелка $h'$, что выполнена система:
  
% TODO корректно ли доказательство?
    $\left\{
        \begin{aligned}
         h\colon X\to X' \quad  &h'\colon X'\to X\\
         h\circ f'=f     \quad  &h'\circ f=f'\\
         h\circ g'=g     \quad  &f'\circ g=g'\\
         h\circ h'=1_{X'}\quad &h'\circ h=1_X\\
        \end{aligned}
      \right.
%      \quad \Rightarrow \quad
%     \left\{
%        \begin{aligned}
%          h\circ h'\circ f=f\quad &h'\circ h\circ f'=f'\\
%          h\circ h'\circ g=g\quad &h'\circ h\circ g'=g'\\
%        \end{aligned}
%      \right.
      \quad \Rightarrow \quad  h^{-1}\leftrightharpoons h'
    $
  
  ($\Leftarrow$) Пусть $h$ является стрелкой в $\ConCC(A,B)$
  (т.е. диаграмма выше
  коммутативна) и у неё есть обратная стрелка $h^{-1}$ в $\CC$. Тогда:

    $\left\{
        \begin{aligned}
          &h\colon X\to X'\\
          &h\circ f'=f\\
          &h\circ g'=g\\
        \end{aligned}
      \right.
      \quad \Rightarrow \quad
      \left\{
        \begin{aligned}
          &h^{-1}\colon X'\to X\\
          &f'=h^{-1}\circ f\\
          &g'=h^{-1}\circ g\\
        \end{aligned}
      \right.
      %\quad \Rightarrow \quad  h^{-1}\leftrightharpoons h'
    $

  Это и есть условия, при которых $h^{-1}$ является морфизмом
  в $\ConCC(A,B)$. Теперь нетрудно убедиться, что он является
  обратным к $h$ в $\ConCC(A,B)$.
\end{proof}

\begin{lemma}
   $(A\times B, p_A, p_B)$ --- произведение $A$ и $B$
   $\quad\Rightarrow\quad (A\times B, p_B, p_A)$ --- произведение $B$ и $A$.
\end{lemma}

\begin{proof}
  Элемент $x=(A\times B, p_A, p_B)$ --- финальный в $\ConCC(A,B)$, т.е.
  $\forall y=(X,\alpha,\beta)\in \ConCC(A,B)\quad |C(y,x)|=1$. Фиксируем
  какое-то одно такое $y$, тогда $\exists! \gamma$

    $\left\{
        \begin{aligned}
          &\gamma\colon X\to A\times B\\
          &\gamma\circ p_A=\alpha\\
          &\gamma\circ p_B=\beta\\
        \end{aligned}
      \right.
      \quad \Leftrightarrow \quad
      \left\{
        \begin{aligned}
          &\gamma\colon X\to A\times B\\
          &\gamma\circ p_B=\beta\\
          &\gamma\circ p_A=\alpha\\
        \end{aligned}
      \right.
    $
 
  Поэтому, $\forall y=(X,\beta,\alpha)\in \ConCC(B,A)\quad |C(y,x)|=1$,
  что и требовалось доказать.
\end{proof}

\begin{lemma}
  $B$ --- финальный объект $\quad\Rightarrow\quad A\times B\approx A$.
\end{lemma}

\begin{proof}
  Из финальности $B$ следует $\exists! f\colon A\to B$.
  Значит, $(A,1_A,f)\in \ConCC(A,B)$.

    {\begin{tikzcd}
      & A \arrow{ld}[swap]{1_A}
          \arrow[dashed]{rd}{\exists! f}\\
      A \arrow{rr}[swap]{\exists! f} & & B\\
    \end{tikzcd}}

  Возьмём произвольный объект $(X,g,h)$ категории $\ConCC(A,B)$.

    {\begin{tikzcd}
      & X \arrow{ldd}[swap]{g}
          \arrow[dashed]{d}[description]{g}
          \arrow{rdd}{h} \\
      & A \arrow{ld}[description]{1_A}
           \arrow{rd}[description]{f} \\
      A \arrow{rr}[swap]{f} && B
    \end{tikzcd}}

  Докажем, что эта диаграмма коммутативна.
  $g\circ 1_A=g$ очевидно.
  $g\circ f$ является стрелкой из $X$ в $B$, а т.к.
  объект $B$ финальный, таковой стрелкой является только $h$, т.е.
  $g\circ f=h$.

  Из коммутативности диаграммы следует, что $g$ является стрелкой
  в $\ConCC(A,B)$. Докажем теперь, что такая стрелка единственна.
  В самом деле, если бы была другая стрелка $g'$ то для коммутативности
  диаграммы потребовалось бы $g'=g'\circ 1_A=g$.

  Из единственности следует, что $(A,1_A,f)$ --- произведение
  $A$ и $B$.

  \begin{exercise}Доказать, что если $(C_1,p_A,p_B)$ и
     $(C_2,r_A,r_B)$ --- два произведения $A$ и $B$, то
     $C_1\approx C_2$.\end{exercise}
\end{proof}

\begin{definition} (\textit{Конечное произведение}\index{Произведение конечное})

  Пусть дана категория $\CC$ и в ней зафиксированы объекты $A_1,A_2,\ldots,A_n$.
  Введём категорию $\ConCC(A_1,A_2,\ldots,A_n)$, называющуюся
  \textit{категорией конусов}\index{Категория конусов}
  над объектами $A_1,A_2,\ldots,A_n$.

  Объектами в ней являются наборы $(X,(p_{A_i})_{1\leq i\leq n})$, где
    $\forall i\quad p_{A_i}\colon X\to A_i$.

    {\begin{tikzcd}
      & & X \arrow{lldd}[swap]{p_{A_1}}
            \arrow[dashed]{ldd}
            \arrow{dd}[description]{p_{A_i}}
            \arrow[dashed]{rdd}
            \arrow{rrdd}{p_{A_n}} \\
      \\ 
      A_1 & \ldots & A_i & \ldots & A_n
    \end{tikzcd}}

  Морфизмами в этой категории являются такие тройки
  $(g, (X,(p_{A_i})_{1\leq i\leq n}), (X',(p_{A_i}')_{1\leq i\leq n}))$,
  что $X\xrightarrow{g} X'$ и для всех $i$ верно $g\circ p_{A_i}'=p_{A_i}$.
  Это можно переформулировать в терминах коммутативности следующей
  диаграммы:

    {\begin{tikzcd}
      & X \arrow{ldd}[swap]{p_{A_1}}
          \arrow{d}[description]{g}
          \arrow{rdd}{p_{A_n}} \\
      & X' \arrow{ld}[description]{p_{A_1}'}
           \arrow{rd}[description]{p_{A_n}'} \\
      A_1 & \ldots& A_n
    \end{tikzcd}}
    {\begin{tikzcd}
      X \arrow{dd}[description]{g}
          \arrow{rdd}{p_{A_i}} \\
      \\
      X' \arrow{r}[swap]{p_{A_i}'}  & A_i
    \end{tikzcd}}

  (Конечным) произведением объектов $A_1,A_2,\ldots,A_n$ называют
  финальный объект категории $\ConCC(A_1,A_2,\ldots,A_n)$.

  Обозначение $\langle f_1,f_2,\ldots f_n \rangle$ вводится
  аналогично двухмерному случаю. Т.е. если $(X,(f_i)_i)$ является
  конусом над $A_1,A_2,\ldots,A_n$, и зафиксировано произведение
  $(A_1\times A_2\times \ldots\times A_n, p_1,p_2,\ldots,p_n)$,
  то $\langle f_1,f_2,\ldots f_n \rangle$ является такой
  (единственной!) стрелкой
  $u\colon X\to A_1\times A_2\times \ldots\times A_n$, что
  для всех $i$ верны равенства $u\circ p_i=f_i$
\end{definition}

Несколько частных случаев:

При $n=2$ получается уже рассмотренное произведение двух объектов.

При $n=1$ получается $\ConCC(A)=\CC\downarrow A$
(см. категорию \ref{trianglecat}).

При $n=0$ получается $\ConCC(\emptyset)=\CC$.

Часто произведения будем обозначать так:
  $$(A_1\times A_2\times\ldots\times A_n,p_{A_1},\ldots,p_{A_n})$$

\begin{lemma}
  В категории $\CC$

    $\left\{
        \begin{aligned}
          &\exists\, \text{произведение $\forall$ двух объектов}\\
          &\exists\, \text{финальный объект}\\
        \end{aligned}
      \right.
      \Rightarrow
      \exists
        \begin{aligned}
          &\text{произведение любого конеч-}\\
          &\text{ного набора объектов}\\
        \end{aligned} $
\end{lemma}

\begin{proof}
  Доказательство произведём по индукции. Пусть для произведений
  с $n$ множителями утверждение доказано, требуется найти произведение
  объектов $A_1,A_2,\ldots,A_{n+1}$. По предположению индукции существует
  произведение
    $$(B = A_1\times A_2\times\ldots \times A_n, (p_{A_i})_{1\leq i\leq n})$$
  а по условию, существует произведение $(B\times A_{n+1},p_B,p_{A_n+1})$


  Возьмём любое $(X,f_1,f_2,\ldots,f_{n+1})\in \ConCC(A_1,\ldots,A_{n+1})$, т.е.
    $$\forall 1\leq i\leq n+1\quad f_i\colon X\to A_i$$

  Тогда $(X,f_1,f_2,\ldots,f_n)\in \ConCC(A_1,\ldots,A_n)$, а значит
    $\exists! g'\colon X\to B$, при котором
    $\forall 1\leq i\leq n\quad g'\circ p_{A_i}=f_i$

  Теперь уже $(X,g',f_{n+1})\in \ConCC(B,A_{n+1})$, а значит
    $\exists! g\colon X\to B\times A_{n+1}$, при котором

    $$\left\{
        \begin{aligned}
          &g\circ p_{A_{n+1}}=f_{n+1}\\
          &g\circ p_B\circ p_{A_i}=f_i, 1\leq i\leq n\\
        \end{aligned}
      \right.
      \Leftrightarrow
      \left\{
        \begin{aligned}
          &g\circ p_{A_{n+1}}=f_{n+1}\\
          &g\circ p_B=\langle f_1,\ldots,f_n\rangle \\
        \end{aligned}
      \right.
      \Leftrightarrow
      g=\langle\langle f_1,\ldots,f_n\rangle,f_{n+1}\rangle
    $$

  Можно заметить, что записанные здесь условия означают, что $g$ является
  стрелкой в категории конусов над $A_1,\ldots,A_{n+1}$, и на каждом шаге
  такое $g$ единственно. В силу произвольности выбора
    $(X,f_1,f_2,\ldots,f_{n+1})$,
  мы доказали, что $(B\times A_{n+1},p_B\circ p_1,\ldots,p_B\times p_n, p_{n+1})$
  является произведением.
\end{proof}

\begin{lemma}
  $A\times B\times C\approx (A\times B)\times C\approx A\times (B\times C)$
  (Если все эти произведения определены.)
\end{lemma}

\begin{proof}
  Выражение $A\times B\times C\approx (A\times B)\times C$ очевидно
  следует из доказательства предыдущей леммы.

  Аналогично следует $A\times B\times C\approx A\times (B\times C)$.

  Т.к. отношение $\approx$ является отношением эквивалентности,
  легко получаем выражение $(A\times B)\times C\approx A\times (B\times C)$
\end{proof}

\begin{definition} (\textit{Произведение семейства объектов})
  \index{Произведение семейства объектов}

  Следующим обобщением произведений объектов будет произведение
  семейства объектов. Пусть задано семейство $(A_i)_{i\in I}$ объектов
  категории $\CC$. Введём категорию $\ConCC(A_i)_{i\in I}$ конусов над ним.
  Объектами в нём будут являться такие наборы $(X,(p_{A_i})_{i\in I})$, что
  $\forall i\in I\quad X\xrightarrow{p_{A_i}} A_i$. Морфизмами будут
  такие тройки $(g,(X,(p_{A_i})_{i\in I}),(X',(p_{A_i}')_{i\in I}))$, что
  $X\xrightarrow{g} X'$ и $\forall i\in I\quad g\circ p_{A_i}'=p_{A_i}$.

  % TODO диаграмма

  Объект $(\prod\limits_{i\in I} A_i, (p_{A_i})_{i\in I})$ называется
  \textit{произведением семейства}\index{Произведение семейства}
  $(A_i)_{i\in I}$, если он финальный в категории конусов $\ConCC(A_i)_{i\in I}$.

  Кроме обычной записи, для обозначения произведений иногда
  будем применять более элегантную запись:
    $$ \left( \prod\limits_{i\in I} A_i\xrightarrow{p_{A_i}} A_i\right)_{i\in I}$$
\end{definition}

% TODO Правильно ли тут написано слово инфимум?
Пусть задано множество $M$ с линейным порядком $\leq$.
Можно задать категорию: $a\rightarrow b\leftrightharpoons a\leq b$.
Тогда произведение в этой категории будет совпадать с инфимумом:
  $$\prod\limits_{i\in I} a_i=\inf\limits_{i\in I}a_i$$

\begin{category} (\textit{Категория стока}\index{Категория стока})

  $$\ConCC^{\circ}(A,B)\leftrightharpoons
      \left[\Con_{\CC^{\circ}}(A,B)\right]^{\circ}$$
\end{category}

%\begin{note}
%  Возможно, что читателю будет так же трудно представить себе такую
%  <<двойную двойственность>>, как это было трудно наборщику. Поэтому
%  предлагается рассмотреть по шагам 
%\end{note}

% TODO перепроверить правильность
\begin{definition}
  Сумма объектов $A$ и $B$ в категории $\CC$ --- это начальный объект
  категории $\ConCC^{\circ}(A,B)$

  Сумму в основном мы будем обозначать $(A\coprod B, \beta_A, \beta_B)$,
  где $A\xrightarrow{\beta_A}A\coprod B$, $B\xrightarrow{\beta_B}A\coprod B$ и
  следующая диаграмма коммутативна:

   {\begin{tikzcd}
      A \arrow{rd}{\beta_A} \arrow{rdd}[swap]{f} & &
        B \arrow{ld}[swap]{\beta_B} \arrow{ldd}{g} \\
      & A\coprod B \arrow[dashed]{d}[description]{\exists! h} \\
      & X
    \end{tikzcd}}
    $\left\{
        \begin{aligned}
          &h\circ \beta_A=f \\
          &h\circ \beta_B=g \\
        \end{aligned}
      \right.
    $

   Иногда вместо $A\coprod B$ будем писать $A+B$.
\end{definition}

\begin{example}
  Рассмотрим категорию множеств $\SET$, в ней возмьмём два объекта (множества)
  $A$ и $B$. Введём множество $A\coprod B=(A\times \{0\})\cap(B\times\{1\})$ и
  функции:
    $$\beta_A\colon A\to A\coprod B,~ \beta_A\colon a\mapsto (a,0) $$
    $$\beta_B\colon B\to A\coprod B,~ \beta_B\colon b\mapsto (b,1) $$

  Тогда $(A\coprod B, \beta_A, \beta_B)$ будет являться суммой в $\SET$.

  Действительно, рассмотрим произвольное множество $X$ с отображениями
  $f\colon A\to X$ и $g\colon B\to X$. Нам нужно построить отображение
  $h\colon A\coprod B\to X$, при котором верна система

    $$\left\{
        \begin{aligned}
          &h\circ \beta_A=f \\
          &h\circ \beta_B=g \\
        \end{aligned}
      \right.
    $$

  и доказать единственность этого отображения. Заметим, что этой
  системе удовлетворяет следующее отображение:
 
    $$h(x)\leftrightharpoons \left\{
        \begin{aligned}
          &f(a)&&\text{, если $x\in A\times \{0\}$ и $x=(a,0)$} \\
          &g(b)&&\text{, если $x\in B\times \{1\}$ и $x=(b,1)$} \\
        \end{aligned}
      \right.
    $$
\end{example}

% TODO POS a+b=sup(a,b)

\begin{definition}\textit{Принцип двойственности}\index{Принцип двойственности}
  
  Пусть дано некоторое утверждение $\Sigma$ про категорию $\CC$.
  (Будем считать, что оно использует лишь базовые термины и обозначения
   теории категорий.)
  Тогда
  $\Sigma^{\circ}$ мы будем называть
  \textit{двойственным утверждением}\index{Двойственное утверждение}, если в нём
  \begin{enumerate}
    \item Все упоминания концов заменены на начала, а начала --- на концы
    \item Композиция $f\circ g$ заменена на $g\circ f$
  \end{enumerate}

  Тогда $\CC\vDash\Sigma \Leftrightarrow \CC^{\circ}\vDash \Sigma^{\circ}$.
    \footnote{Выражение $\CC\vDash\Sigma$ является сокращением утверждения
              <<для категории$\CC$ выполнено $\Sigma$>>}

  Отсюда следует, что если $\forall \CC\colon \CC\vDash\Sigma$, то
    $\forall \CC\colon \CC\vDash \Sigma^{\circ}$.

  Ранее мы столкнулись с некоторыми двойственными понятиями:
  \begin{enumerate}
    \item финальный и начальный объекты
    \item произведение $\prod$ и сумма $\coprod$
  \end{enumerate}
\end{definition}

Сформулируем двойственную к \ref{prodbiect} лемму:

\textbf{Лемма \ref{prodbiect}.$^{\circ}$}\textit{
Пусть $(A\coprod B,\beta_A,\beta_B)$ --- сумма в $\CC$.
Тогда существует биекция
  $\HOMCC(A,X) \times \HOMCC(B,X) \mapsto \HOMCC(A\coprod B,X)$.}

\begin{definition}
  По аналогии с произведением, эту биекцию мы будем обозначать $[f,g]$.
  Она так же определена неоднозначно, так как меняется от выбора конкретного
  объекта $A\coprod B$.
\end{definition}

\begin{functor}(\textit{Функтор свободы}\index{Функтор свободы})
  
  Построим функтор $M\colon \SET\rightsquigarrow \MON$.
    $$M(X)\leftrightharpoons (X*, \bullet, e)$$
  , где $X*$ --- все слова в алфавите $X$
    \footnote{Т.е. все конечные последовательности элементов из $X$.},
    $\bullet$ --- операция конкатенации (склеивания) двух слов,
    $e$ --- пустое слово (состоит из нулевого числа элементов).

  Мы задали функтор на объектах, теперь построим его на морфизмах.
  Пусть $A\xrightarrow{f}B$ --- произвольный морфизм в $\SET$, тогда
  определим $M(f)$ следующим образом:

    $$\left\{
        \begin{aligned}
          &M(f)\colon M(X)\to M(Y)\\
          &M(f)(e)\leftrightharpoons e\\
          &M(f)(x_1\ldots x_n)\leftrightharpoons f(x_1)\ldots f(x_n)\\
        \end{aligned}
      \right.
    $$
\end{functor}

\begin{lemma}
  $M(X)\coprod M(Y)\approx M(X\coprod Y)$
\end{lemma}

\begin{proof}
  Пусть $(X\coprod Y,\beta_X,\beta_Y)$ --- сумма в $\SET$ из примера выше.
  У любой другой суммы объект будет изоморфным
  (это утверждение двойственно к лемме \ref{prodiso}), поэтому
  достаточно доказать утверждение леммы только для этой. 

   $\beta_X\colon X\to X\coprod Y$, отсюда
       $M(\beta_X)\colon M(X)\to M(X\coprod Y)$

   $\beta_Y\colon Y\to X\coprod Y$, отсюда
       $M(\beta_Y)\colon M(Y)\to M(X\coprod Y)$

   Пусть $G\in \MON$, $f\colon M(X)\to G$, $g\colon M(Y)\to G$.
   Построим $h\in \Mor\MON$ с условием коммутативности следующей диаграммы.

   {\begin{tikzcd}
      M(X) \arrow{rd}[swap]{M(\beta_X)} \arrow{rrrd}{f} \\
      & M(X\coprod Y) \arrow[dashed]{rr}[description]{h} & & G \\
      M(Y) \arrow{ru}{M(\beta_Y)} \arrow{rrru}[swap]{g}
    \end{tikzcd}}

   Рассмотрим любые $z_1,\ldots,z_n\in X\coprod Y$. Из определения
   следует $\forall i~z_i=(x,0)$ или $z_i=(y,1)$.  Положим
    
    $$h(z_i)\leftrightharpoons \left\{
        \begin{aligned}
          &f(x)&&\text{, если $z_i\in X\times \{0\}$ и $z_i=(x,0)$} \\
          &g(y)&&\text{, если $z_i\in Y\times \{1\}$ и $z_i=(y,1)$} \\
        \end{aligned}
      \right.
    $$
  
   Теперь мы можеем доопределить $h$ на слове $z_1\ldots z_n$:
     $$h(z_1\ldots z_n)=h(z_1)\bullet h(z_2)\bullet \ldots\bullet h(z_n)$$

   Ясно, что такое $h$ единственно, потому что если какой-то другой морфизм $h'$
   отличается на буквах, то он нарушает коммутативность диаграммы, а если
   отличается на словах, то он нарушает определение морфизма моноидов.
   Следовательно, $(M(X\coprod Y), M(\beta_X), M(\beta_Y))$ является суммой,
   а, так как у любых двух сумм объекты изоморфны, получаем утверждение леммы
     $$M(X\coprod Y)\approx M(X)\coprod M(Y)$$
  
\end{proof}
